三船のブログ

短文はこちら https://twitter.com/Mi_fune

環上の加群の二通りの定義と同値性

以下、環といえば乗法単位元をもつものとする. また、左加群を指して加群と言っている.

 

定義(A)

R を環とするとき、MR 上の加群であるとは

M が加法群であり、写像 R×M→M \, ; \, (a,x)\mapsto ax があり、次を満たすことをいう.

 a,b \in R \, , \, x,y \in M として

(A1) 1_R x=x

(A2) a(bx)=(ab)x

(A3) (a+b)x=ax+bx

(A4) a(x+y)=ax+ay

 

定義(B)

R を環とするとき、MR 上の加群であるとは

M が加法群であり、環準同型 R→End(M) があることをいう.

 

 R 上の加群のことを  R 加群ともいう.

 End(M) に関する補足:アーベル群  M に対し  End(M) M から  M への群準同型全体から成る集合と定義する. このとき各  x \in M に対し  (f+g)(x)=f(x)+g(x) を和、写像の合成を積とすることで  End(M) は環になる. この環を自己準同型環という.

定義(A)は加群の実態がわかりやすい. 定義(B)はより少ない文字数で同じ概念が定義できる. あとかっこいい. 枠青いし. それでは、以下でこの二つの定義が定める加群が同じものであることを示そう.

 

まず(B)→(A)、すなわち  M を(B)の意味で  R 加群とした時に(A)の意味でも  R 加群であることを示す.

環準同型 R→End(M)\phi とする.

 a\in Rx\in M に対し ax=(\phi (a))(x) として R×M→M \, ; \, (a,x)\mapsto ax を定める. 以降、記号が煩雑になるのを避けるために  (\phi (a))(x) などを  \phi (a)(x) と書く. これから(A1)-(A4)を確かめる.

(A1)  1_R x = \phi (1_R)(x)

       = id_M (x)  ∵\phiは環準同型

       = x

(A2)  a ( b x ) = a( \phi ( b ) ( x ) )

       = \phi ( a ) ( \phi ( b ) ( x ) ) ∵ \phi (b)(x) \in M

       = ( \phi (a) \phi (b) )(x) ∵ End(M) 上の積の定義

       = \phi (ab)(x) ∵ \phi は環準同型

       = (ab)x

(A3)  (a + b) x = \phi (a+b)(x)

          = ( \phi (a) + \phi (b) )(x) ∵ \phi は環準同型

          = \phi (a)(x)+ \phi (b)(x) ∵ End(M) 上の和の定義

          = ax+bx

(A4)  a(x+y) = \phi (a)(x+y)

          = \phi (a)(x)+ \phi (a)(y) ∵ \phi (a) は群準同型

          = ax+ay

次に、逆に(A)→(B)を示す.

 \phi : R→End(M) を、各  a \in R に対して \phi (a) : M→M \, ; \, x\mapsto ax として定める. これはつまり、(B)→(A)のときとは逆に  ax \phi (a)(x) を定義しているだけである.

まず、 \phi (a) がちゃんと  End(M) に属していることを確認する.

 \phi (a) (x+y) = a(x+y)

        = ax+ay ∵(A4)

        = \phi (a) (x)+ \phi (a) (y)

よって  \phi (a) は群準同型であるから確かに  \phi (a) \in End(M) である.

次に、 \phi が環準同型であることを確かめる.

・  1_R x=x ∵(A1) より  \phi (1_R)= id_M

・  \phi (a+b)(x)=(a+b)x

          = ax+bx ∵(A3)

          = \phi (a) (x) + \phi (b) (x)

          = ( \phi (a) + \phi (b))(x) ∵ End(M) 上の和の定義

  よって  \phi (a+b) = \phi (a) + \phi (b)

・  \phi (ab)(x) = (ab)x

          = a(bx) ∵(A2)

          = a( \phi (b)(x))

          = \phi (a)( \phi (b)(x)) ∵ \phi (b)(x) \in M

          = ( \phi (a) \phi (b))(x) ∵ End(M) 上の積の定義

  よって  \phi (ab) = \phi(a) \phi(b)

以上より、(A),(B)が定める加群は同一である.

『図書館の魔女』の世界

小説『図書館の魔女』の世界設定について、大域的な解説をざっくりする。登場人物にまでは立ち入らない。

物語の舞台:海峡地域

モデルは現実世界の中世、ボスポラス・ダーダネルス海峡周辺。一ノ谷のモデルはビザンツ帝国、主人公一党の住まう一ノ谷王都のモデルはコンスタンティノープル島嶼地方はギリシアに対応する。

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https://theuthe.wordpress.com/2014/03/17/cartographia-fantastica/

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上限の定義とちょっとした系

実数全体の集合ℝの部分集合Aに対して

U(A):={x∈ℝ|∀a∈A, a ≤ x}とし、

supA:=minU(A)と定める。supAをAの上限と呼ぶ。

ここで特にx∉U(A) ⇔ ∃a∈A, x<aであることに注意する。自然言語で言うと、「Aのどんな元aに対してもa ≤ x」の否定は「Aの元aで、x<aとなるものがある」だということ。

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『図書館の魔女(下)』最後の手紙の文法解説

『図書館の魔女(下)』pp.792-793の手紙をできる限り解説してみた。こちらは訳を見てから解読にとりかかれるのでキリヒト君より遥かに楽なのだが、思いの外大変だった上になお不明瞭な箇所がある。識者の御意見を請う。

以下に原文にマクロンを補ったものを記す。本書にある通り、ラテン語の古語法が用いられている。解釈に自信のない語を赤色にした。

Adtentior tuō passuī quī revertēre

Kalendīs tōtīs plicāns digitōs ad diem tuī adventūs

Apud archīvum turris altissimae ted opperibor.

Reditus sī tibi coactus nōn fātō nēve nātū siet,

Itinera nostra conjuncta tēte numquam perduxint,

――quīn tuum nōmen novum susurrētur.

[1行目]「あなたが帰る際に伴う足音にいっそう注意を払って」

adtentior : attentior の別形。attentior は attentus(attendō「気をつける」の完了分詞)の比較級女性単数主格

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『GIRL FRIENDS』フランス語版を読む 第8話(2)

フランス語版『GIRL FRIENDS』を入手した喜びのあまりこんな記事書きました。文法さらっとやったレベル(おそらく3級落ちるであろうレベル)の私が注目した台詞を挙げ、その下に原作で対応する位置の台詞を載せ、解説や所感を付しました。

実際の漫画の仏文はすべて大文字ですが、この記事では改めています。また原作の複数のふきだしにまたがる台詞を載せるにあたって、空白の幅等にはあまり明確な基準は設けておりません。

次の略語を用いることがあります。inf. :不定法 ind. :直説法 sub. :接続法

 

Je me suis retrouvée si près de toi… que… sans m'en rendre compte… je t'ai embrassée…

あっこの寝顔見てて…そしたら… つい…あっこにキス しちゃってたの…

>se retrouver は「(ついに)…になる」の意味でとるのがいいと思われます。

si … que + 結果節 : とても…なので…だ。si と que が挟んでいるのは près de toi なので「あっこがすごく近くにいたから…」となります。

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『GIRL FRIENDS』フランス語版を読む 第8話

大好きな漫画で言葉を学べるのは、ひとえに原作者はじめ関係者各位、そして文明の進歩のおかげであります。心よりお礼申し上げます。

文法さらっとやったレベル(おそらく3級落ちるであろうレベル)の私が注目した台詞を挙げ、その下に原作で対応する位置の台詞を載せ、解説や所感を付しました。

なぜ8話からかというと、Amazonでフランス語版探したら2巻が1500円ちょっとで、他の巻は3000円超えてたからです。

実際の漫画の仏文はすべて大文字ですが、この記事では改めています。また原作の複数のふきだしにまたがる台詞を載せるにあたって、空白の幅等にはあまり明確な基準は設けておりません。

次の略語を用いることがあります。inf. :不定法 ind. :直説法 sub. :接続法

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Je n'arrive pas à regarder Akko dans les yeux…

あっこの顔が まともに… 見れないよ~

>arriver à inf. : …できるようになる。「…できなくなる」は inf. の部分を否定形にする(J'arrive à ne pas regarder …)のではなく、arriver を否定形にするんですね~

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『図書館の魔女』シリーズ第一作に残された伏線

シリーズ第三作『図書館の魔女 霆(はたた)ける塔』の年内刊行予定が言い渡された。また直近五月には増補のある第一作下巻文庫版が発売予定とのこと。

さて本記事では上下巻として刊行された『図書館の魔女』シリーズ第一作中の伏線のうち、第一作中では回収されていないものをまとめてみる。私が確認した限りでは上巻中にのみ見つけられた。

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