三船のブログ

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Aの閉包の閉包はAの閉包

数学

開区間 $(0,1)$ に対する閉区間 $[ 0,1$ ] のような概念を一般的に定めてみよう.

定義（閉包）

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A$ に対し

$\overline{A} = \{x \in X \,|\, \forall \epsilon \gt 0 \,,\, B(x,\epsilon) \cap A \neq \varnothing \}$

と定め、これを $A$ の閉包と呼ぶ. ただし、 $B(x,\epsilon)$ は $x$ の $\epsilon$ 近傍.

Remark　定義より、一般に $A \subset \overline{A}$ である.

例　初めに述べたように、通常の距離を考えた距離空間 $\mathbb{R}$ において $\overline{(0,1)}=[ 0,1$ ] となる.

閉包に関して次が言える.

命題

$A$ を距離空間の部分集合とすると

$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$ .

すなわち、閉包はさらに閉包を取ってもそれより大きな集合にはならない.

証明

< $\overline{\overline{A}} \supset \overline{A}$ >　Remark からわりと明らか.

< $\overline{\overline{A}} \subset \overline{A}$ >　 $x \in \overline{\overline{A}}$ とし、 $\epsilon \gt 0$ をとると、閉包の定義より $B(x,\epsilon) \cap \overline{A} \neq \varnothing$ なので $y \in B(x,\epsilon) \cap \overline{A}$ をとる.

ここで $\epsilon ':=\epsilon - d(x,y) \gt 0$ （ $d$ は距離関数）とすると $B(y,\epsilon ') \subset B(x,\epsilon)$ .

f:id:Mifune:20180315144937p:plain — 平面でユークリッド距離の場合のイメージ図

なぜなら、 $B(y,\epsilon ')$ の元 $z$ を勝手にとると、距離の公理より

$d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z) \lt (\epsilon - \epsilon ')+\epsilon '=\epsilon$

となり、 $z \in B(x,\epsilon)$ が言えるからである.

また、 $y \in \overline{A}$ より閉包の定義から $B(y,\epsilon ') \cap A \neq \varnothing$ なので、開球の包含関係から $B(x,\epsilon) \cap A \neq \varnothing$ .

このことが任意の $\epsilon$ で言えるので、 $x \in \overline{A}$ である.　▯