三船のブログ

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環上の加群の二通りの定義と同値性

数学

以下、環といえば乗法単位元をもつものとする. また、左加群を指して加群と言っている.

定義(A)

$R$ を環とするとき、 $M$ が $R$ 上の加群であるとは

$M$ が加法群であり、写像 $R×M→M \, ; \, (a,x)\mapsto ax$ があり、次を満たすことをいう.

$a,b \in R \, , \, x,y \in M$ として

(A1)　 $1_R x=x$

(A2)　 $a(bx)=(ab)x$

(A3)　 $(a+b)x=ax+bx$

(A4)　 $a(x+y)=ax+ay$

定義(B)

$R$ を環とするとき、 $M$ が $R$ 上の加群であるとは

$M$ が加法群であり、環準同型 $R→End(M)$ があることをいう.

$R$ 上の加群のことを $R$ 加群ともいう.

$End(M)$ に関する補足

アーベル群 $M$ に対し $End(M)$ を $M$ から $M$ への群準同型全体から成る集合と定義する.

このとき各 $x \in M$ に対し $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ を和、写像の合成を積とすることで $End(M)$ は環になる. この環を自己準同型環という.

定義(A)は加群の実態がわかりやすい. 定義(B)はより少ない文字数で同じ概念が定義できる. あとかっこいい. 枠青いし. それでは、以下でこの二つの定義が定める加群が同じものであることを示そう.

まず(B)→(A)、すなわち $M$ を(B)の意味で $R$ 加群とした時に(A)の意味でも $R$ 加群であることを示す.

環準同型 $R→End(M)$ を $\phi$ とする.

$a\in R$ と $x\in M$ に対し $ax=(\phi (a))(x)$ として $R×M→M \, ; \, (a,x)\mapsto ax$ を定める. 以降、記号が煩雑になるのを避けるために $(\phi (a))(x)$ などを $\phi (a)(x)$ と書く. これから(A1)-(A4)を確かめる.

(A1)　 $1_R x = \phi (1_R)(x)$

　　　　　 $= id_M (x)$ 　∵ $\phi$ は環準同型

　　　　　 $= x$

(A2)　 $a ( b x ) = a( \phi ( b ) ( x ) )$

　　　　　　 $= \phi ( a ) ( \phi ( b ) ( x ) )$ 　∵ $\phi (b)(x) \in M$

　　　　　　 $= ( \phi (a) \phi (b) )(x)$ 　∵ $End(M)$ 上の積の定義

　　　　　　 $= \phi (ab)(x)$ 　∵ $\phi$ は環準同型

　　　　　　 $= (ab)x$

(A3)　 $(a + b) x = \phi (a+b)(x)$

　　　　　　　 $= ( \phi (a) + \phi (b) )(x)$ 　∵ $\phi$ は環準同型

　　　　　　　 $= \phi (a)(x)+ \phi (b)(x)$ 　∵ $End(M)$ 上の和の定義

　　　　　　　 $= ax+bx$

(A4)　 $a(x+y) = \phi (a)(x+y)$

　　　　　　　 $= \phi (a)(x)+ \phi (a)(y)$ 　∵ $\phi (a)$ は群準同型

　　　　　　　 $= ax+ay$

次に、逆に(A)→(B)を示す.

$\phi : R→End(M)$ を、各 $a \in R$ に対して $\phi (a) : M→M \, ; \, x\mapsto ax$ として定める. これはつまり、(B)→(A)のときとは逆に $ax$ で $\phi (a)(x)$ を定義しているだけである.

まず、 $\phi (a)$ がちゃんと $End(M)$ に属していることを確認する.

$\phi (a) (x+y) = a(x+y)$

　　　　　　 $= ax+ay$ 　∵(A4)

　　　　　　 $= \phi (a) (x)+ \phi (a) (y)$

よって $\phi (a)$ は群準同型であるから確かに $\phi (a) \in End(M)$ である.

次に、 $\phi$ が環準同型であることを確かめる.

・　 $1_R x=x$ 　∵(A1)　より $\phi (1_R)= id_M$

・　 $\phi (a+b)(x)=(a+b)x$

　　　　　　　　 $= ax+bx$ 　∵(A3)

　　　　　　　　 $= \phi (a) (x) + \phi (b) (x)$

　　　　　　　　 $= ( \phi (a) + \phi (b))(x)$ 　∵ $End(M)$ 上の和の定義

　　よって $\phi (a+b) = \phi (a) + \phi (b)$

・　 $\phi (ab)(x) = (ab)x$

　　　　　　 $= a(bx)$ 　∵(A2)

　　　　　　 $= a( \phi (b)(x))$

　　　　　　 $= \phi (a)( \phi (b)(x))$ 　∵ $\phi (b)(x) \in M$

　　　　　　 $= ( \phi (a) \phi (b))(x)$ 　∵ $End(M)$ 上の積の定義

　　よって $\phi (ab) = \phi(a) \phi(b)$

以上より、(A),(B)が定める加群は同一である.